Question

a为实数f（x）=x²+|x-a|+1 x∈R

a为实数

f（x）=x²+|x-a|+1 x∈R

求f（x）最小值

Answer 1

①`当x小于等于a，函数f(x)=x2-x+a+1=(x-1/2)2+a+3/4
若a小于等于1/2,则函数在（-∞，a]上单调递减，从而，函数在（-∞，a]世且f(x)小于等于f(a)的最小值为f(a)=a2+1
若a大于1/2，则y在（-∞，a]的最小值是f(1/2)=a+3/4
②当x大于等于a，f(x)=x2+2x-a+1=(x+1/2)2+a+3/4
所以
a小于等于-1/2，则函数在[a,+∞)最小值为f(-1/2)=3/4-a
若a大于1／2，则在[a,+∞)单调递减，在[a,+∞)的最小值为f(a)=a2+1
所以①②知，当a小于等于-1/2最小值为3/4-a
当-1/2小于a小于等于1/2，最小值为a2+1
a大于1/2，最小值为a+3/4

Answer 2

解:∵X²≥0 |X-a|≥0
∴当且仅当X²=|X-a|=0时
f(x)=x²+|x-a|+1取得最小值1

Answer 3

当x小于a，f(x)=x^2-x a 1，该二次函数对称轴（x=-b/2a）为x=1/2，根据二次函数性质可得x在对称轴上取最值，所以f(x)最小值等于1/4-1/2 a 1=a 3/4。
当x大于等于a，f(x)=x^2 x-a 1，同理当x取-1/2时，f(x)最小值等于1/4-1/2-a 1=-a 3/4。