Question

当0≤x≤1时，求函数y=x²+（2-6a)x+3a²的最小值

当0≤x≤1时，求函数y=x²+（2-6a)x+3a²的最小值

Answer 1

解：函数f(x)=x^2+(2-6a)x+3a^2
开口向上,对称轴x=-(2-6a)/2=3a-1
若3a-1≤0,即:a≤1/3
函数f(x)=x^2+(2-6a)x+3a^2在[0，1]上单调递增
当x=0,最小值f(0)=0^2+(2-6a)*0+3a^2=3a^2
若0<3a-1<1,即:1/3<a<2/3
函数f(x)=x^2+(2-6a)x+3a^2在x=3a-1有最小值
最小值:[4*3a^2-(2-6a)^2]/4=-6a^2+6a-1
若3a-1≥1,即:a≥2/3
函数f(x)=x^2+(2-6a)x+3a^2在[0，1]上单调递减
当x=1,最小值f(1)=1^2+(2-6a)*1+3a^2=3a^2-6a+3

Answer 2

y=x²+（2-6a)x+3a²的对称轴为y=3a-1
①若3a-1＞1即a＞2/3 函数y=x²+（2-6a)x+3a²的最小值在x=1处取得
最小值为1+（2-6a)+3a² =3a²-6a+3
②若 0＜3a-1＜1 即 1/3＜a＜2/3
函数y=x²+（2-6a)x+3a²的最小值在x=3a-1处取得
最小值为12a²-12a-1
③若 3a-1＜0 a＜1/3
函数y=x²+（2-6a)x+3a²的最小值在x=0处取得
最小值为3a²