Question

四棱锥P-ABCD的底面ABCD为边长1的菱形,角BCD=60，E是CD中点，PA垂直底面ABCD，PA=2

问题1 证明平面PBE垂直平面PAB
问题2 求平面PAD与平面PBE的二面角大小

Answer 1

1、连结BD，CD=BC，〈BCD=60度，

∴△BCD是正△，

E是CD中点，则BE⊥CD，CD//AB，故BE ⊥AB，

AP⊥平面ABCD，BE∈平面ABCD，

AP⊥BE，

AP∩AB=A，

∴BE⊥平面PAB，

BE∈平面PBE，

∴平面PBE⊥平面PAB。

2、以AB为X轴，AD为Y轴，AP为Z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（0，1，0），C（3/2，√3/2，0），

D（1/2，√3/2，0），P（0，0，2），E（（1，√3/2，0），

设平面PAD法向量为n1(1,y,z),

向量AP=（0，0，2），向量AD=（1/2，√3/2，0），

向量n1⊥AP，向量n1⊥AD,

向量n1•AP=0+0+2z=0,z=0,

向量n1•AD=1/2+√3y/2+0=0,

y=-1/√3,

向量n1=(1,-1/√3,0),

设平面PDC的法向量为n2=（x,y,1）,

向量DC=（1,0，0），

向量DP=（-1/2，-√3/2，2），

同理向量n2⊥DC，向量n2⊥DP，

向量n2•DC=x+0=0,x=0,

-1/2x-√3/2y+2=0,y=4√3/3,

n2=(0, 4√3/3,1),

|n1|=2√3/3,

|n2|=√57/3,

设向量n1和n2的成角为α，

cosα=n1•n2/(|n1||n2)=(-4/3)/[( 2√3/3)*( √57/3)]

=-2/√19

=-2/√19,

法向量成角为钝角，二面角取其补角为锐角，

则二平面所成角为arccos(2/√19)。