Question

各位高手帮我做一道题

如图，等边三角形的顶点都在圆上。这样一个三角形可以把圆内分成4部分。那么再画另一个等边三角形把圆分成13部分。这样不断地画布不同位置的等边三角形，当画成9个等边三角形时，最多可把圆分成多少部分？

Answer 1

令画了n个等边三角形时，最多可把圆分成f(n)个部分
n=1 f(1)=4
n=2 f(2)=13
n=3 f(3)=28
n=4 f(4)=49
f(2)-f(1)=9=3*3=3*(2*1+1)
f(3)-f(2)=15=3*5=3*(2*2+1)
f(4)-f(3)=21=3*7=3*(2*3+1)

f(n+1)-f(n)=3*(2*n+1)
迭加f(n)-f(1)=3*[2*(1+2+3+……+n-1)+1*(n-1)]
=3*[2*(n-1)*n/2+n-1]
=3*(n-1)*(n+1)
f(n)=3*(n-1)*(n+1)+4
代入n=9，f(9)=244