Question

已知圆C经过点A(-2,0).B(0,2)。且圆心C在直线y=x上，又直线l:y=kx+1与圆C相交于P,Q两点。

1.求圆C方程2.若向量OP*向量OQ=-2，求实数K的值。3.过点（0，1）作直线x与l垂直，且直线x与圆C交于M,N两点，求四边形PMQN面积最大值。。急啊！要过程结果

Answer 1

1)圆C经过点A(-2,0).B(0,2) =>圆心在AB的垂直平分线即y=-x上
且圆心C在直线y=x上，可得圆心为(0,0)
圆C经过点A(-2,0）,可得r=2
圆方程为x^2+y^2=4

2)向量OP*向量OQ=|OP||OQ|COS(角POQ)=-2 =>COS(角POQ)=-1/2 =>角POQ=120°
圆心到l距离为r*cos(角POQ/2)=1
又d=1/√1+k^2=1 =>k=0

3)当PQ 、MN斜率都存在时
|PQ|=2√(r^2-d^2)=2√(4-1/(1+k^2))=2√(3+4k^2)/(1+k^2)
用-1/k代k可得|MN|=2√(4+3k^2)/(1+k^2)
S=1/2*|PQ||MN|=2√(3+4k^2)(4+3K^2)/(1+k^2)^2
令k^2=t>0
只需求f(t)=(3+4t)(4+3t)/(1+t)^2的最大值
f(t)=(3+4t)(4+3t)/(1+t)^2=(12t^2+25t+12)/(t^2+2t+1)=12+t/(t^2+2t+1)=12+1/(t+1/t+2)<=12+1/4=49/4
当t=1/t 即t=1时取等号 此时S=7

当MN斜率不存在时，S=4√3<7
所以当k=±1时，面积最大为7