Question

n阶行列式D=/Aij/的任意一列（行）各元素与另一列（行）对应元素的代数余子式的乘积之和等于零。如何证明

Answer 1

【分析】书上的证明是没错的。书上是用了行列式的以下两个性质
①存在完全相同的两行（列）的行列式值为零；
②行列式中某元素aij的余子式的值，与该元素aij的数值无关。（这点是理解此题的关键）

设原行列式 An =
a11 a12 …… a1n
a21 a22 …… a2n
a31 a32 …… a3n
…………………………
ai1 ai2 …… ain ← — — — —（第 i 行）
…………………………
aj1 aj2 …… ajn ← — — — —（第 j 行）
…………………………
an1 an2 …… ann

于是，书上构造了一个新的行列式 Bn。Bn是将原行列式An的第 j 行元素用第 i 行元素替换得来的。（An与Bn是两个数值完全不相等的行列式，要搞清楚！）
即，Bn =
a11 a12 …… a1n
a21 a22 …… a2n
a31 a32 …… a3n
…………………………
ai1 ai2 …… ain ← — — — —（第 i 行）
…………………………
ai1 ai2 …… ain ← — — — —（第 j 行）
…………………………
an1 an2 …… ann

由于An与Bn除了第 j 行元素外，其余所有数字都对应相等，
所以便有，An 与 Bn分别按第 j 行元素展开的余子式对应相等，即Bjk=Ajk （k=1，2，……，n）
（**注：理解好这一步是理解全题的关键）

所以Bn按第 j 行展开，得
Bn=ai1Aj1+ai2Aj2+……+ainAjn

而∵Bn存在两行完全相同的元素，
∴Bn = 0
即，ai1Aj1+ai2Aj2+……+ainAjn =0 （证毕）

*********以上是我个人的理解，有不明白的地方可以留言给我，我继续补充^0^ *************

Answer 2

设该行列式为D，不妨设题目中指出的两行分别是第i行和第j行，则D按照第j行展开式为：

|a11 ... a1n|
|... |
|ai1 ... ain|
D= |... |=aj1Aj1+...+ajnAjn
|aji ... ajn|
|... |
|an1 ... ann|

若换成另一行元素相乘得ai1Aj1+...ainAjn=|a11 ... a1n|
|... |
|ai1 ... ain|
|... |
|ai1 ... ain|
|... |
|an1 ... ann|（这是由题意得到的）
显然，aj1...ajn一行被ai1...ain替换才可写成那形式，即aji=ai1,..ajn=ain.这样，行列式中就有两行是相同的了，所以行列式值为0