Question

如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的棱长均为1,D是CC1的中点.(1)求直线AB1,A1C所成角的余弦值

(2)证明:A1B⊥平面AB1D(3)点A1到平面AB1D的距离
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图

Answer 1

第一问
求AB1 和 A1C 的夹角
取 A1B1 的中点M
AA1 的中点N
连接MN 有MN‖AB1 且MN=0.5AB1
取 AC 的中点P
连接NP 有NP‖A1C 且NP=0.5A1C
所以MN与NP的夹角 既 AB1与A1C 的夹角
连接MP
再取AB的中点0 连接PO
在三角形MPO中 易得∠MOP=90
MO=1 OP=0.5 MP=√5/2
所以在三角形MNP中cos∠MNP=（MN^2+NP^2-MP^2)/(2MN*NP)
MP=√5/2 MN=NP= MP=√2/2
cos∠MNP=-1/2
所以直线AB1,A1C所成角的余弦值为-1/2

第二问
连接A1B
四边形AA1B1B 是 正方形
所以A1B 与 AB1 垂直
设AB1 与 A1B 的交点为0
连接D0
易证 0 为 D 在底面AA1B1B 上的射影
所以 D0 垂直 底面AA1B1B
所以 DO 垂直 A1B
因为 A1B 垂直 D0
A1B 垂直 AB1
AB1 交 D0 = 0
所以A1B⊥平面AB1D

第三问
通过体积转换法
V（A1-B1CD)=V(B1-A1AD)
下面求三角形ADB1 的 面积
由第二问知DO为三角形ADB1 的高
而易得D0=√3/2
AB1=√2
三角形ADB1 的 面积=0.5*D0*AB1 =√6/4
再求V（B1-AA1D）
取A1C1 的 中点 R
有B1R 垂直 底面ACC1A1
B1R=√3/2
三角形ADA1的面积=0.5
所以V（B1-AA1D）=√3/12
A1到AB1D 的 距离 （√3/12）*3=√3/4
（√3/4）/（√6/4）=√2/2
点A1到平面AB1D的距离为√2/2

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