Question

已知函数f(x)=x(x-a)^2+b在x=2处有极大值

1,求a的值
2，若过远点有三条直线与曲线y=f(x)相切，求b的取值范围
3，当x属于[-2,4]时，函数y=f(x)的图像在抛物线y=1+45x-9x^2的下方，求b取值范围

Answer 1

解：1、
f’（x）=3x^2-4ax+a^2

在x=2处有极大值，则说明x=2是此函数的一个驻点，即f’（2）=0

则3*2*2-4a*2+a^2=0，得a=6，(或者a=2不取），所以可知x=6也是个极值点

所以函数为f（x）=x（x-6）^2+b

2、若过原点有三条直线与曲线y=f(x)相切，
则原点处，一定满足f（0）<0,即b<0

3、当x属于[-2,4]时，函数y=f(x)的图像在抛物线y=1+45x-9x^2的下方
则f（-2）<1+45*(-2)-9*(-2)^2=-125
所以-2*（-2-6）^2+b<-125,得b<3
f(0)<1,即b<1

f(2)<1+45*2-9*2*2=55,即2*（2-6）^2+b<55,得b<19
f(4)<1+45*4-9*4*4=37,即4*（4-6）^2+b<37,得b<21

综合得，b<1

Answer 2

a=6