Question

高中数学 三角函数部分

函数f(x)=sin^2x+（根号3)sinxcosx在区间【π/4，π/2】上的最大值是？
答案是3/2
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Answer 1

由倍角公式：
(sinx)^2 = (1-cos2x)/2，sinxcosx = 1/2sin2x，所以
f(x)
=(sinx)^2 + 根号3*sinxcosx
=(1-cos2x)/2 + 根号3/2*sin2x
=根号3/2*sin2x - 1/2*cos2x + 1/2 (辅助角公式)
=sin(2x-π/6) +1/2
当 x 属于 [π/4，π/2] 时， 2x-π/6 属于 [π/3，5π/6]，此时 sin(2x-π/6) 可取得最大值 1，所以 f(x) 的最大值是 3/2.

Answer 2

f(x)=sin^2x+（根号3)sinxcosx
=二分之根号三SIN2X-1/2COS2X+1/2
=SIN(2X-六分之π）+1/2
X属于【π/4，π/2】
2X-六分之π 属于（π/3,5π/6)
则2X-六分之π取π/2时有最大值 1 再加上后面的1/2 得3/2

Answer 3

f(x)=sin^2x+（根号3)sinxcosx
=（1-cos2x)/2 +(2分之根号3）sin2x
=(根号3）/2 *sin2x - cos2x/2 +1/2
=sin(2x-π/6)+1/2
令2x-π/6=t ,因为x在区间【π/4，π/2】上，所以t在区间【π/3，5π/6】
所以sin(2x-π/6)在区间【1/2,1】
所以f(x)的最大值是1+1/2=3/2

Answer 4

f(x)=sin^2x+（根号3)sinxcosx
=2sinx(sinx*(1/2)+cosx*(根号3)/2)
=2sinx*sin(x+60)
=-cos(2x+60)+cos60
=(1/2)-cos(2x+60)

而：π/4<=x<=π/2
150<=2x+60<=240
所以：cos(2x+60)>=-1
f(x)=(1/2)-cos(2x+60)<=(1/2)-(-1)=3/2

最大值=3/2

Answer 5

f(x)=sin^2x+（根号3)sinxcosx
=sinxsinx+（根号3)sinxcosx
=2sinx(sinx/2+（根号3)/2cosx)
=2sinxsinx（30°+x)
=[cos(x-30°-x)-cos(x+30°+x)]
=1/2-cos(2x+30°)
当x=75°时最大，为：1/2-(-1)=3/2