Question

设x,y属于R,a>1,b>1,若a^x=b^y=3,a+b=2根号3,则1/x+1/y的最大值为

Answer 1

a^x=b^y=3
x=LOGa(3),y=LOGb(3)
1/x+1/y=LOG3(a)+LOG3(b)=LOG3(ab)
a+b=2√3
ab≤(a+b)²/4=3
则1/x+1/y最大值为LOG3(3)=1
a=b=√3时取得

Answer 2

取对数有：
xlna=ylnb=ln3

lna=ln3/x
lnb=ln3/y

lnab=lna+lnb=ln3(1/x+1/y)
a+b=2根号3
ab<=3 lnab<=ln3
1/x+1/y<=1

Answer 3

解：a^x=b^y=3,(a,b＞1).===>x㏑a=y㏑b=㏑3.===>1/x=(㏑a)/㏑3,1/y=(㏑b)/㏑3.===>(1/x)+(1/y)=(㏑a+㏑b)/㏑3=[㏑(ab)]/㏑3.即(1/x)+(1/y)=[㏑(ab)]/㏑3.又2√3=a+b≥2√(ab).===>0＜ab≤3.===>㏑(ab)≤㏑3.等号仅当a=b=√3时取得。故[(1/x)+(1/y)]max=1.

Answer 4

1/x+1/y=㏒|ab|/㏒3<=1