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2014-02-17
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高中数学《排列组合》教学设计教学目标
1.知识目标
(1)能够熟练判断所研究问题是否是排列或组合问题;
(2)进一步熟悉排列数、组合数公式的计算技能;
(3)熟练应用排列组合问题常见解题方法;
(4)进一步增强分析、解决排列、组合应用题的能力。
2.能力目标
认清题目的本质,排除非数学因素的干扰,抓住问题的主要矛盾,注重不同题目之间解题方法的联系,化解矛盾,并要注重解题方法的归纳与总结,真正提高分析、解决问题的能力。
3.德育目标
(1)用联系的观点看问题;
(2)认识事物在一定条件下的相互转化;
(3)解决问题能抓住问题的本质。
教学重点:排列数与组合数公式的应用
教学难点:解题思路的分析
教学策略:以学生自主探究为主,教师在必要时给予指导和提示,学生的学习活动采用自主探索和小组协作讨论相结合的方法。
媒体选用:学生在计算机网络教室通过专题学习网站,利用网络资源(如在线测度等)进行自主探索和研究。
教学过程
一、知识要点精析
(一)基本原理
1.分类计数原理:做一件事,完成它可以有 类办法,在第一类办法中有 种不同的方法,在第二类办法中有 种不同的方法,……,在第 类办法中有 种不同的办法,那么完成这件事共有: … 种不同的方法。
2.分步计数原理:做一件事,完成它需要分成 个步骤,做第一步有 种不同的方法,做第二步有 种不同的方法,……,做第 步有 种不同的办法,那么完成这件事共有:
… 种不同的方法。
3.两个原理的区别在于一个与分类有关,一个与分步有关即“联斥性”:
(1)对于加法原理有以下三点:
①“斥”——互斥独立事件;
②模式:“做事”——“分类”——“加法”
③关键:抓住分类的标准进行恰当地分类,要使分类既不遗漏也不重复。
(2)对于乘法原理有以下三点:
①“联”——相依事件;
②模式:“做事”——“分步”——“乘法”
③关键:抓住特点进行分步,要正确设计分步的程序使每步之间既互相联系又彼此独立。
(二)排列
1.排列定义:一般地说从 个不同元素中,任取 个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从 个不同元素中,任取 个元素的一个排列。特别地当 时,叫做 个不同元素的一个全排列。
2.排列数定义:从 个不同元素中取出 个元素的所有排列的个数,叫做从 个不同元素中取出 个元素的排列数,用符号 表示。
3. 排列数公式:(1) … ,特别地
(2)且规定
(三)组合
1.组合定义:一般地说从 个不同元素中,任取 个元素并成一组,叫做从 个不同元素中取出 个元素的一个组合。
2.组合数定义:从 个不同元素中取出 个元素的所有组合的个数,叫做从 个不同元素中取出 个元素的组合数,用符号 表示。
3. 组合数公式:(1)
(2)
4.组合数的两个性质:(1) 规定 (2)
(四)排列与组合的应用
1.排列的应用问题
(1)无限制条件的简单排列应用问题,可直接用公式求解。
(2)有限制条件的排列问题,可根据具体的限制条件,用“直接法”或“间接法”求解。
2.组合的应用问题
(1)无限制条件的简单组合应用问题,可直接用公式求解。
(2)有限制条件的组合问题,可根据具体的限制条件,用“直接法”或“间接法”求解。
3.排列、组合的综合问题
排列组合的综合问题,主要是排列组合的混合题,解题的思路是先解决组合问题,然后再讨论排列问题。
在解决排列与组合的应用题时应注意以下几点:
(1)限制条件的排列问题常见命题形式:
“在”与“不在”
“相邻”与“不相邻”
在解决问题时要掌握基本的解题思想和方法:
①“相邻”问题在解题时常用“捆绑法”,可以把两个或两个以上的元素当做一个元素来看,这是处理相邻最常用的方法。
②“不相邻”问题在解题时最常用的是“插空法”。
③“在”与“不在”问题,常常涉及特殊元素或特殊位置,通常是先排列特殊元素或特殊位置。
④元素有顺序限制的排列,可以先不考虑顺序限制,等排列完毕后利用规定顺序的实情求出结果。
(2)限制条件的组合问题常见命题形式:
“含”与“不含”
“至少”与“至多”
在解题时常用的方法有“直接法”或“间接法”。
(3)在处理排列组合综合题时,通过分析条件按元素的性质分类,做到不重复,不遗漏按事件的发生过程分类、分步,正确地交替使用两个原理,这是解决排列问题的最基本,也是最重要的思想方法。
4、解题步骤:
(1)认真审题:看这个问题是否与顺序有关,先归结为排列问题或组合问题或二者的综合题,还应考虑以下几点:
①在这个问题中 个不同的元素指的是什么?② 个元素指的又是什么?
②从 个不同的元素中每次取出 个元素的排列(或组合)对应的是什么事件;
(2)列式并计算;
(3)作答。 在上课的过程中,学生可以根据需要,在老师的引导下,选择自己学习的进度和内容,去自主的学习和探索。通过实际操作,帮助理解和掌握本节课重点内容。在上课过程中,学生积极思考,相互协作讨论,踊跃回答问题,气氛活跃,教学效果好。在学生课后的反馈中,总体的反映都觉得各自获益匪浅,从中学到了不少的东西,切实掌握了排列和组合的有关知识。
1.知识目标
(1)能够熟练判断所研究问题是否是排列或组合问题;
(2)进一步熟悉排列数、组合数公式的计算技能;
(3)熟练应用排列组合问题常见解题方法;
(4)进一步增强分析、解决排列、组合应用题的能力。
2.能力目标
认清题目的本质,排除非数学因素的干扰,抓住问题的主要矛盾,注重不同题目之间解题方法的联系,化解矛盾,并要注重解题方法的归纳与总结,真正提高分析、解决问题的能力。
3.德育目标
(1)用联系的观点看问题;
(2)认识事物在一定条件下的相互转化;
(3)解决问题能抓住问题的本质。
教学重点:排列数与组合数公式的应用
教学难点:解题思路的分析
教学策略:以学生自主探究为主,教师在必要时给予指导和提示,学生的学习活动采用自主探索和小组协作讨论相结合的方法。
媒体选用:学生在计算机网络教室通过专题学习网站,利用网络资源(如在线测度等)进行自主探索和研究。
教学过程
一、知识要点精析
(一)基本原理
1.分类计数原理:做一件事,完成它可以有 类办法,在第一类办法中有 种不同的方法,在第二类办法中有 种不同的方法,……,在第 类办法中有 种不同的办法,那么完成这件事共有: … 种不同的方法。
2.分步计数原理:做一件事,完成它需要分成 个步骤,做第一步有 种不同的方法,做第二步有 种不同的方法,……,做第 步有 种不同的办法,那么完成这件事共有:
… 种不同的方法。
3.两个原理的区别在于一个与分类有关,一个与分步有关即“联斥性”:
(1)对于加法原理有以下三点:
①“斥”——互斥独立事件;
②模式:“做事”——“分类”——“加法”
③关键:抓住分类的标准进行恰当地分类,要使分类既不遗漏也不重复。
(2)对于乘法原理有以下三点:
①“联”——相依事件;
②模式:“做事”——“分步”——“乘法”
③关键:抓住特点进行分步,要正确设计分步的程序使每步之间既互相联系又彼此独立。
(二)排列
1.排列定义:一般地说从 个不同元素中,任取 个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从 个不同元素中,任取 个元素的一个排列。特别地当 时,叫做 个不同元素的一个全排列。
2.排列数定义:从 个不同元素中取出 个元素的所有排列的个数,叫做从 个不同元素中取出 个元素的排列数,用符号 表示。
3. 排列数公式:(1) … ,特别地
(2)且规定
(三)组合
1.组合定义:一般地说从 个不同元素中,任取 个元素并成一组,叫做从 个不同元素中取出 个元素的一个组合。
2.组合数定义:从 个不同元素中取出 个元素的所有组合的个数,叫做从 个不同元素中取出 个元素的组合数,用符号 表示。
3. 组合数公式:(1)
(2)
4.组合数的两个性质:(1) 规定 (2)
(四)排列与组合的应用
1.排列的应用问题
(1)无限制条件的简单排列应用问题,可直接用公式求解。
(2)有限制条件的排列问题,可根据具体的限制条件,用“直接法”或“间接法”求解。
2.组合的应用问题
(1)无限制条件的简单组合应用问题,可直接用公式求解。
(2)有限制条件的组合问题,可根据具体的限制条件,用“直接法”或“间接法”求解。
3.排列、组合的综合问题
排列组合的综合问题,主要是排列组合的混合题,解题的思路是先解决组合问题,然后再讨论排列问题。
在解决排列与组合的应用题时应注意以下几点:
(1)限制条件的排列问题常见命题形式:
“在”与“不在”
“相邻”与“不相邻”
在解决问题时要掌握基本的解题思想和方法:
①“相邻”问题在解题时常用“捆绑法”,可以把两个或两个以上的元素当做一个元素来看,这是处理相邻最常用的方法。
②“不相邻”问题在解题时最常用的是“插空法”。
③“在”与“不在”问题,常常涉及特殊元素或特殊位置,通常是先排列特殊元素或特殊位置。
④元素有顺序限制的排列,可以先不考虑顺序限制,等排列完毕后利用规定顺序的实情求出结果。
(2)限制条件的组合问题常见命题形式:
“含”与“不含”
“至少”与“至多”
在解题时常用的方法有“直接法”或“间接法”。
(3)在处理排列组合综合题时,通过分析条件按元素的性质分类,做到不重复,不遗漏按事件的发生过程分类、分步,正确地交替使用两个原理,这是解决排列问题的最基本,也是最重要的思想方法。
4、解题步骤:
(1)认真审题:看这个问题是否与顺序有关,先归结为排列问题或组合问题或二者的综合题,还应考虑以下几点:
①在这个问题中 个不同的元素指的是什么?② 个元素指的又是什么?
②从 个不同的元素中每次取出 个元素的排列(或组合)对应的是什么事件;
(2)列式并计算;
(3)作答。 在上课的过程中,学生可以根据需要,在老师的引导下,选择自己学习的进度和内容,去自主的学习和探索。通过实际操作,帮助理解和掌握本节课重点内容。在上课过程中,学生积极思考,相互协作讨论,踊跃回答问题,气氛活跃,教学效果好。在学生课后的反馈中,总体的反映都觉得各自获益匪浅,从中学到了不少的东西,切实掌握了排列和组合的有关知识。
2014-02-17
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首先,谈谈排列组合综合问题的一般解题规律:1)使用“分类计数原理”还是“分步计数原理”要根据我们完成某件事时采取的方式而定,可以分类来完成这件事时用“分类计数原理”,需要分步来完成这件事时就用“分步计数原理”;那么,怎样确定是分类,还是分步骤?“分类”表现为其中任何一类均可独立完成所给的事件,而“分步”必须把各步骤均完成才能完成所给事件,所以准确理解两个原理强调完成一件事情的几类办法互不干扰,相互独立,彼此间交集为空集,并集为全集,不论哪类办法都能将事情单独完成,分步计数原理强调各步骤缺一不可,需要依次完成所有步骤才能完成这件事,步与步之间互不影响,即前步用什么方法不影响后面的步骤采用的方法。2)排列与组合定义相近,它们的区别在于是否与顺序有关。3)复杂的排列问题常常通过试验、画 “树图 ”、“框图”等手段使问题直观化,从而寻求解题途径,由于结果的正确性难于检验,因此常常需要用不同的方法求解来获得检验。4)按元素的性质进行分类,按事件发生的连续性进行分步是处理排列组合问题的基本思想方法,要注意“至少、至多”等限制词的意义。5)处理排列、组合综合问题,一般思想是先选元素(组合),后排列,按元素的性质进行“分类”和按事件的过程“分步”,始终是处理排列、组合问题的基本原理和方法,通过解题训练要注意积累和掌握分类和分步的基本技能,保证每步独立,达到分类标准明确,分步层次清楚,不重不漏。6)在解决排列组合综合问题时,必须深刻理解排列组合的概念,能熟练地对问题进行分类,牢记排列数与组合数公式与组合数性质,容易产生的错误是重复和遗漏计数。总之,解决排列组合问题的基本规律,即:分类相加,分步相乘,排组分清,加乘明确;有序排列,无序组合;正难则反,间接排除等。
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