Question

设f(x)在[0,+∞)上连续,在(0,+∞)内可导,且f'(x)单调增加,f(0)=0,证明f(x)/x在(0,+∞）内单调增加

Answer 1

证明：
f(x)在x>=0连续，在x>0可导，f'(x)单调增加
所以：f''(x)>0
设g(x)=f(x)/x
求导：g'(x)=f'(x)/x-f(x)/x^2=[xf'(x)-f(x)]/x^2
设h(x)=xf'(x)-f(x)
求导：
h'(x)=f'(x)+xf''(x)-f'(x)=xf''(x)>0
所以：h(x)是单调递增函数
h(x)>h(0)=0-f(0)=0
所以：
g'(x)=h(x)/x^2>0
所以：
g(x)是单调递增函数
所以：f(x)/x在x>0时是单调递增函数

追问

你这个方法跟我的解答一样，不过你还会别的解法吗？

追答

其它严谨的解答我暂时想不出来，呵呵