Question

已知函数f（x）=丨lgx丨，若0<a<b,且f（a）=f（b），则a+2b的取值范围是？

Answer 1

您好，对您的提问，回答如下： 首先可以证明：a≤1,b≥1。否则，假设a1，因为a＜b，则1<a<b，此时f（x）=丨lgx丨=lgx，单调递增，lga＜lgb，也就是f（a）<f（b），与f（a）=f（b）矛盾，所以假设不成立，所以a≤1.同样也可以证明b≥1. 因为a≤1，所以f（a）=| lga |=-lga=lg（1/a），f（b）=| lgb |=lgb，因为f（a）=f（b），所以lg（1/a）=lgb，而lgx是严格单调递增的函数，所以1/a=b，所以a+2b=a+2*1/a=a+2/a，可以证明，函数g（a）=a+2/a在区间(0,1]上单调递减，所以a+2/a≥g（1）=1+2=3，也就是a+2b≥3。 所以a+2b的取值范围是[3，正无穷）。 满意就采纳吧。

Answer 2

解：画出y=|lgx|的图象如下图：
∵0＜a＜b，且f（a）=f（b），
∴|lga|=|lgb|且0＜a＜1，b＞1
∴-lga=lgb
即ab=1
∴y=a+2b=a+2/a
，a∈（0，1）
∵y=a+2/a
在（0，1）上为减函数，
∴y＞1+2/1
=3
∴a+2b的取值范围是（3，+∞）
故答案为
（3，+∞）