Question

求证：定义域为（-l，l）的任何函数都能表示成一个奇函数与一个偶函数之和

只知道任何函数要分奇函数，偶函数，非奇非偶三种情况讨论、
接下来怎么做？
定义域为（-L,L）

Answer 1

因为该函数的定义关于原点对称，
对任何函数f(x),
令f1(x)=[f(x)+f(-x)]/2,f2(x)=[f(x)-f(-x)]/2
容易验证，f1(-x)=f1(x),即f1(x)是偶函数；f2(-x)=-f2(x),即f2(x)是奇函数。
且因f1(x)+f2(x)=f(x).
因此定义域为（-l，l）的任何函数都能表示成一个奇函数与一个偶函数之和

Answer 2

不用分的

设函数是f(x)

令2g(x)=f(x)+f(-x)
2h(x)=f(x)-f(-x)
则2g(-x)=f(-x)+f(x)=2g(x)
2h(-x)=f(-x)-f(-x)=-2h(x)
所以g(x)=[f(-x)+f(x)]/2是偶函数
h(x)=[f(-x)-f(x)]/2是奇函数
而f(x)=g(x)+h(x)
命题得证