Question

若实数x,y满足x>=-1，y>=-1，且在2^x+2^y=4^x+4^y，则2^(2x-y）+2

若实数x,y满足x>=-1，y>=-1，且在2^x+2^y=4^x+4^y，则2^(2x-y）+2^(2y-x)

Answer 1

令2^x=m,2^y=n,(m≥1/2,n≥1/2)
2^x+2^y=4^x+4^y，
m+n=m^2+n^2
（m-1/2)^2+(n-1/2)^2=1/2
画出图像，是以（1/2,1/2)为圆心，√2/2为半径的右上的1/4圆(包括端点）
z=2^（2x-y）+2^（2y-x）=m^2/n+n^2/m=(m^3+n^3)/mn
=(m+n)(m^2-mn+n^2)/mn
=(m+n)(m-mn+n)/mn (注意m+n=m^2+n^2）
=[(m+n)^2-mn(m+n)]/mn
=[(m+n)^2]/mn-(m+n)
=(m^2+2mn+n^2)/mn-(m+n)
=(m/n+n/m)-(m+n)+2
令n/m=k,由1/4圆得√2-1≤k≤√2+1
k=1时,
m=n=1,
m/n+n/m=k+1/k有最小值2，同时由1/4圆m+n有最大值2，
z=2^（2x-y）+2^（2y-x）有最小值2-2+2=2
k=√2-1或√2+1时,
m=1/2,n=1/2+√2/2或n=1/2,m=1/2+√2/2
m/n+n/m=k+1/k有最大值2√2，同时由1/4圆m+n有最小值1+√2/2，
z=2^（2x-y）+2^（2y-x）有最大值2√2-（1+√2/2）+2=(3√2+2)/2
2^（2x-y）+2^（2y-x）的取值范围是[2,(3√2+2)/2]