Question

一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的体积是？

Answer 1

解：设正四面体P-ABC内切球心为O，高为PH，H是三角形ABC的中心，设这个球的半径为R，每个正三角形面积为S，连结OP、OA、OB、OC共分解为4个小三棱锥，它们的体积和为4R*S/3，在底面三角形ABC中，AH = (√3a/2)*2/3= √3a/3； PH = √(a 2 –AH 2 ) = √6a/3； V三棱锥P-ABC = S△ABC*PH/3 = S*√6a/3/3= √6aS/9； 所以4R*S/3 = √6aS/9，求得R=√6a/12，所以V球 = 4πR 3 /3= √6πa 3 /216 。 综上所述， V 球 =√6πa 3 /216 。

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