Question

在三角形ABC中，∠A:∠B:∠C=1:2:4，求证：1/AB+1/AC=1/BC

Answer 1

证法一：

延长BC至E，使得AE=AC；延长AB至D，使得BD=AC；连接DE。

∠A:∠B:∠C＝1:2:4，则∠A=180/7，∠B=360/7，∠C=720/7，

∠EAC=180－2×(180/7＋360/7)=180/7，∴∠EAD=180/7＋180/7=360/7=∠ABC；

∴BE=AE=AC=BD，∠D=(360/7)÷2=180/7=∠BAC。

三角形ABC与ADE相似，AD:AB=AE:BC，

即：（AB＋AC）/AB=AC/BC，1/AB＋1/AC=1/BC。

证法二：

要证1/AB＋1/AC=1/BC，等式两边同乘三角形面积的2倍可知，即证AB、AC边上的高之和等于BC边上的高，即图中的AF=CD＋BE。（CD、BE、AF为三条高线）

∠A:∠B:∠C＝1:2:4，则∠A=180/7，∠B=360/7，∠C=720/7，

作角B和角C的平分线，分别交AC、AB于H、G，则∠CHB=360/7∠CBA，∠CGB=180－2×360/7=540/7，∠ECB=∠FCA=180/7＋360/7=540/7，所以，三角形CDG、BEC、AFC相似。

在AC上取一点P，使得CP=CB。过P作BC的平行线，交AF于N；过N作AC的平行线，交CF于M。

则三角形NFM与BEC全等，NF=BE。

连接PG，三角形CPG与CBG全等，所以，PG=BG=GC。

于是可知，三角形APG和PGC均为等腰三角形，则AP=PG=CG。

所以，三角形ANP全等于三角形 CDG，AN=CD。

所以，AF=AN＋NF=CD＋BE。即：1/AB＋1/AC=1/BC。

Answer 2

再提供一个思路。
由正弦定理得到
BC/sinA =AC /sinB=AB/sinC=k
由已知有
∠B=2∠A
∠C=4∠A
求证式左侧即 (sinB+sinC )/ksinB*sinC
由上述角的关系 统一化归成∠A的函数。。就统一用万能公式，倍角公式之类的

再看右侧 即 1/ksinA
只要将左侧的通过化简能变成右侧的这个式子，就可以得证了