Question

将数列{a n }中的所有项按每组比前一组项数多一项的规则分组如下：（a 1 ），（a 2 ，a 3 ），（a 4 ，a

将数列{a n }中的所有项按每组比前一组项数多一项的规则分组如下：（a 1 ），（a 2 ，a 3 ），（a 4 ，a 5 ，a 6 ），（a 7 ，a 8 ，a 9 ，a 10 ），…每一组的第1个数a 1 ，a 2 ，a 4 ，a 7 ，…构成的数列为{b n }，b 1 =a 1 =1，S n 为数列{b n }的前n项和，且满足S n+1 （S n +2）=S n （2-S n+1 ），n∈N * ，（I）求证：数列{ 1 S n }成等差数列，并求出数列{b n }的通项公式；（Ⅱ）若从第2组起，每一组中的数自左向右均构成等比数列，且公比q为同一个正数，当a 18 =- 2 15 时，求公比q的值； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，记每组中最后一数a 1 ，a 3 ，a 6 ，a 10 ，…构成的数列为{c n }，设d n =n 2 （n-1）?c n ，求数列{d n }的前n项和T n ．

Answer 1

（I）证明：由s n+1 （s n +2）=s n （2-s n+1 ） 得s n -s n+1 =s n s n+1 所以 1 s n+1 - 1 s n =1 又s 1 =b 1 =a 1 =1 所以数列 { 1 s n } 是首项为1，公差为1的等差数列 所以 1 s n =n ，即 s n = 1 n 所以 b n = 1，n=1 -1 n(n-1) ，n≥2 （II）因为1+2+…+5=15 所以第1行至第5行共含有数列{a n }的15项 故a 18 在表中第6行第三列．（12分） 所以，a 18 = - 2 15 = b 6 q 2 ，（13分） 所以q=2．（14分 （III）因为从第2组起，每组中的数据依次构成以b n 为首项，2为公比的等比数列 所以 c n =- 1 n(n-1) ? 2 n-1 （n≥2，n∈N * ） 即 C n = 1，n=1 - 1 n(n-1) ? 2 n-1 ，n≥2 于是n≥2当时那么相减得，T n =0+（-2）×2+（-3）×2 2 +…+（-n）?2 n-1 -T n =0+2×2+3×2 2 +…+n?2 n-1 -2T n =2×2 2 +3×2 3 +…+（n-1）?2 n-1 +n?2 n 相减可得，T n =2×2+2 2 +2 3 +…+2 n-1 -n?2 n-1 =（1-n）?2 n