Question

已知函数f(x)＝sin(ωx+π6)+sin(ωx?π6)?2cos2ωx2，x∈R（其中ω＞0）（I）求函数f（x）的值域；（II

已知函数f(x)＝sin(ωx+π6)+sin(ωx?π6)?2cos2ωx2，x∈R（其中ω＞0）（I）求函数f（x）的值域；（II）若对任意的a∈R，函数y=f（x），x∈（a，a+π]的图象与直线y=-1有且仅有两个不同的交点，试确定ω的值（不必证明），并求函数y=f（x），x∈R的单调增区间．

Answer 1

（I）解：f(x)＝

3

2

sinωx+

1

2

cosωx+

3

2

sinωx?

1

2

cosωx?(cosωx+1)=2(

3

2

sinωx?

1

2

cosωx)?1=2sin(ωx?

π

6

)?1
由?1≤sin(ωx?

π

6

)≤1，得?3≤2sin(ωx?

π

6

)?1≤1可知函数f（x）的值域为[-3，1]．
（II）解：由题设条件及三角函数图象和性质可知，y=f（x）的周期为π，
又由ω＞0，得

2π

ω

＝π，即得ω=2．
于是有f(x)＝2sin(2x?

π

6

)?1，再由2kπ?

π

2

≤2x?

π

6

≤2kπ+

π

2

(k∈Z)，
解得kπ?

π

6

≤x≤kπ+

π

3

(k∈Z)．
B1所以y=f（x）的单调增区间为[kπ?

π

6

，kπ+

π

3

](k∈Z).