Question

如图，A、P、B、C是⊙O上的四点，∠APC=∠CPB=60°，过点C作CM∥BP交PA的延长线于点M．（1）求证：△ACM

如图，A、P、B、C是⊙O上的四点，∠APC=∠CPB=60°，过点C作CM∥BP交PA的延长线于点M．（1）求证：△ACM≌△BCP；（2）若PA=1，PB=2，求△PCM的面积．

Answer 1

解答：（1）证明：∵∠APC=∠CPB=60°，
∴∠BAC=∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，∠ACB=60°，
∵CM∥BP
∴∠PCM=∠BPC=60°，
又∵∠APC=60°，
∴△PCM是等边三角形
∴PC=MC，∠M=60°，
∵∠BCA-∠PCA=∠PCM-∠PCA，
∴∠PCB=∠ACM，
在△ACM和△BCP中，

∠BPC＝∠M ∠PCB＝∠MCA CB＝CA

，
∴△ACM≌△BCP≌△ACM（AAS），

（2）∵△ACM≌△BCP，
∴AM=PB=2，
∴PM=PA+AM=1+2=3，
∵△PCM是等边三角形，
∴△PCM的面积=

3

4

CM²=

9 3

4

．