Question

我们将具有下列性质的所有函数组成集合M：函数y=f（x）（x∈D），对任意x，y，x+y2∈D均满足f(x+y2)≥12[

我们将具有下列性质的所有函数组成集合M：函数y=f（x）（x∈D），对任意x，y，x+y2∈D均满足f(x+y2)≥12[f(x)+f(y)]，当且仅当x=y时等号成立．（1）若定义在（0，+∞）上的函数f（x）∈M，试比较f（3）+f（5）与2f（4）大小．（2）给定两个函数：f1(x)＝1x(x＞0)，f2（x）=logax（a＞1，x＞0）．证明：f1（x）?M，f2（x）∈M．（3）试利用（2）的结论解决下列问题：若实数m、n满足2m+2n=1，求m+n的最大值．

Answer 1

（1）

f(3)+f(5)

2

≤f(

3+5

2

)，即f（3）+f（5）≤2f（4）
但3≠5，所以f（3）+f（5）＜2f（4）
（若答案写成f（3）+f（5）≤2f（4），扣一分）                        （4分）
（2）①对于f1(x)＝

1

x

(x＞0)，取x=1，y=2，则
f1(

x+y

2

)＝f1(

3

2

)＝

2

3

1

2

[f2(x)+f2(y)]＝

1

2

(1+

1

2

)＝

3

4

所以f(

x+y

2

)＜

1

2

[f(x)+f(y)]，f₁（x）?M．（6分）
②对于f₂（x）=log_ax（a＞1，x＞0）任取x，y∈R⁺，则f(

x+y

2

)＝loga

x+y

2

∵

x+y

2

≥

xy

，而函数f₂（x）=log_ax（a＞1，x＞0）是增函数
∴loga

x+y

2

≥loga

xy

，即loga

x+y

2

≥

1

2

loga(xy)＝

1

2

(logax+logay)
则f2(

x+y

2

)≥

1

2

[f2(x)+f2(y)]，即f₂（x）∈M．（10分）
（3）设x=2^m，y=2ⁿ，则m=log₂x，n=log₂y，且m+n=1．
由（2）知：函数g（x）=log₂x满足g(

x+y

2

)≥

1

2

[g(x)+g(y)]，
得log2

x+y

2

≥

1

2

[log2x+log2y]，即log2

1

2

≥

1

2

(m+n)，则m+n≤-2（14分）
当且仅当x=y，即2m＝2n＝

1

2

，即m=n=-1时，m+n有最大值为-2．（16分）

Answer 2

分析：
（1）由题意中所给的定义直接判断f（3）+f（5）与2f（4）大小即可；
（2）对于函数f1（x）∉M可通过举两个反例，说明其不符合所给的定义可取x=1，y=2，对于f2（x）∈M可按定义规则进行证明，任取x，y∈R+，求出利用基本不等式，得到，即可证明出结论；
（3）参照（2）的方法，利用所给的定义及基本不等式作出变化，再判断即可得出所求的最值
解答：
解：（1），即f（3）+f（5）≤2f（4）
但3≠5，所以f（3）+f（5）＜2f（4）
（2）①对于，取x=1，y=2，则
所以，f1（x）∉M．
②对于f2（x）=logax（a＞1，x＞0）任取x，y∈R+，则
∵，而函数f2（x）=logax（a＞1，x＞0）是增函数
∴，即
则，即f2（x）∈M．
（3）设x=2m，y=2n，则m=log2x，n=log2y，且m+n=1．
由（2）知：函数g（x）=log2x满足，
得，即，则m+n≤-2
当且仅当x=y，即，即m=n=-1时，m+n有最大值为-2．
点评：本题考查不等式的综合题，考查了比较大小，基本不等式求最值的运用，对数的运算性质，解答本题关键是理解定义及基本不等式的运用规则，本题考查了理解能力及判断推理的能力，考查了转化的思想，本题综合性强，注意总结本题的做题的规律。

Answer 3

问题是啥
啥