Question

设A是符合以下性质的函数f(x)组成的集合:对任意的x≥0,f(x)∈(1,4]

集合A是由下列性质的函数f(x)组成的，对于任意的x≥0，f(x)属于（1,4]且f(x)在【0，+∞)上是减函数
（1）试判断f1(x)=2-根号x，f2(x)=1+3（1/2）^2(x大于等于0)是否在集合A中，若不在集合A中，试说明理由
（2）对于（1）中你认为是集合A中的函数f(x),不等式g(x)+g(x+2)≤k是否对于任意x大于等于0总成立？求k的取值范围

Answer 1

（1）∵f1(49) =2-sqr49 =-5不属于 (1,4]
∴f1(x) 不在集合A中
又∵x≥0, ∴0＜(1/2)^x ≤1
∴0＜3•(1/2)^2 ≤3 从而1＜1+3•(1/2)^x ≤4
∴f2(x)∈(1,4]又f2(x)=1+3•(1/2)^x 在[0，+∞)上为减 函数
∴f2(x)=1+3•(1/2)^x 在集合A中.
（2）当x≥0时，f(x)+f(x+2)=2+15/4 •(1/2)^x ≤ 23/4
又由已知f(x)+f(x+2) ≤k对于任意的x≥0总成立,
∴k≥23/4
因此所求实数k的取值范围是[23/4 ,+∞)