Question

已知函数y=f（x）在定义域[-1，1]上是奇函数，又是减函数．（1）证明：对任意的x 1 ，x 2 ∈[-1，1]，有[

已知函数y=f（x）在定义域[-1，1]上是奇函数，又是减函数．（1）证明：对任意的x 1 ，x 2 ∈[-1，1]，有[f（x 1 ）+f（x 2 ）]（x 1 +x 2 ）≤0（2）解不等式f（1-a）+f（1-a 2 ）＜0．

Answer 1

（1）若x 1 +x 2 =0，显然不等式成立； 若x 1 +x 2 ＜0，则-1＜x 1 ＜-x 2 ＜1，∵函数y=f（x）在定义域[-1，1]上是奇函数，又是减函数， ∴f（x 1 ）＞f（-x 2 ）=-f（x 2 ），f（x 1 ）+f（x 2 ）＞0，故原不等式成立； 同理可证当x 1 +x 2 ＞0  时，原不等式也成立． （2）由f（1-a）+f（1-a 2 ）＜0 和已知可得以下不等式组 -1≤1- a 2 ≤1 -1≤a-1≤1 1- a 2 ＞a-1 解得 0≤a＜1．