Question

设抛物线y 2 =2px（p＞0）的焦点为F，其准线与x轴交于点C，过点F作它的弦AB，若∠CBF=90°，则|AF|-|BF|=

设抛物线y 2 =2px（p＞0）的焦点为F，其准线与x轴交于点C，过点F作它的弦AB，若∠CBF=90°，则|AF|-|BF|=______．

Answer 1

设AB方程为：y=k（x- p 2 ）（假设k存在），与抛物线y 2 =2px（p＞0）联立得k 2 （x 2 -px+ p 2 4 ）=2px， 即k 2 x 2 -（k 2 +2）px+ (kp) 2 4 =0 设两交点为A（x 2 ，y 2 ），B（x 1 ，y 1 ），∠CBF=90°即（x 1 - p 2 ）（x 1 + p 2 ）+y 1 2 =0， ∴x 1 2 +y 1 2 = p 2 4 ，∴x 1 2 +2px 1 - p 2 4 =0，即（x 1 +p） 2 = 5 4 p 2 ，解得x 1 = -2+ 5 2 p ， ∴B（ -2+ 5 2 p ， -2+ 5 p ），|BC|= -1+ 5 2 p ，|BF|= -1+ 5 2 p ， ∵x 1 x 2 = p 2 4 ，x 1 = -2+ 5 2 p ， ∴x 2 = 2+ 5 2 p ∴A（ 2+ 5 2 p ，- 2+ 5 p ），|AF|= 3+ 5 2 p ， ∴|AF|-|BF|=2P， 故答案为2P．