Question

实数x，y满足4x 2 -5xy+4y 2 =5，设 S=x 2 +y 2 ，则 1 S max + 1 S min

实数x，y满足4x 2 -5xy+4y 2 =5，设 S=x 2 +y 2 ，则 1 S max + 1 S min =______．

Answer 1

∵4x 2 -5xy+4y 2 =5， ∴5xy=4x 2 +4y 2 -5， 又∵2xy≤x 2 +y 2 ∴5xy=4x 2 +4y 2 -5≤ 5 2 （x 2 +y 2 ） 设 S=x 2 +y 2 ， 4s-5≤ 5 2 s ∴s ≤ 10 3 即 S max = 10 3 ∵x 2 +y 2 ≥-2xy ∴5xy=4x 2 +4y 2 -5≥-8xy-5 ∴xy ≤- 5 13 ∴-xy ≥ 5 13 ∴S=x 2 +y 2 ≥-2xy ≥ 10 13 ∴ S min = 10 13 ∴ 1 S max + 1 S min = 3 10 + 13 10 = 8 5 故答案为： 8 5