Question

如图：已知平面α ∥ 平面β，点A、B在平面α内，点C、D在β内，直线AB与CD是异面直线，点E、F、G、H分别

如图：已知平面α ∥ 平面β，点A、B在平面α内，点C、D在β内，直线AB与CD是异面直线，点E、F、G、H分别是线段AC、BC、BD、AD的中点，求证：（Ⅰ）E、F、G、H四点共面；（Ⅱ）平面EFGH ∥ 平面β．

Answer 1

证：（Ⅰ）∵点E、F是线段AC、BC的中点，
∴EF ∥ AB，
又∵G、H是线段BD、AD的中点，∴GH ∥ AB，
∴EF ∥ GH，因此：E、F、G、H四点共面；
（Ⅱ）∵平面α ∥ 平面β，点A、B在平面α内，∴AB ∥ 平面α
设平面ABC与平面β的交线为CP，
∵直线AB与CD是异面直线，
∴CP与CD是交线，
∵AB ∥ 平面α，∴AB ∥ CP，又EF ∥ AB，
∴EF ∥ CP，∴EF ∥ 平面β，
∵点E、H是线段AC、AD的中点，
∴EH ∥ CD，∴EH ∥ 平面β，
因此：平面EFGH ∥ 平面β．