如图,在正方形ABCD外取一点E,连接AE、BE、DE,DE交AB于F.(1)若G为DF的中点,连接AG,∠AED=2∠DAG,
如图,在正方形ABCD外取一点E,连接AE、BE、DE,DE交AB于F.(1)若G为DF的中点,连接AG,∠AED=2∠DAG,AE=2,求DF的长;(2)若AE⊥AG,...
如图,在正方形ABCD外取一点E,连接AE、BE、DE,DE交AB于F.(1)若G为DF的中点,连接AG,∠AED=2∠DAG,AE=2,求DF的长;(2)若AE⊥AG,BE⊥DE,点F为AB的中点,求证:FG-EF=BE.
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(1)解:在正方形ABCD中,∠BAD=90°,
∵G为DF的中点,
∴AG=DG=
DF,
∴∠DAG=∠ADG,
由三角形的外角性质,∠AGE=∠DAG+∠ADG=2∠DAG,
∵∠AED=2∠DAG,
∴∠AED=∠AGE,
∴AG=AE,
∵AE=2,
∴DF=2AG=2×2=4;
(2)证明:如图,过点A作AH⊥DF于H,
∵点F为AB的中点,
∴AF=BF,
在△AFH和△BFE中,
,
∴△AFH≌△BFE(AAS),
∴BE=AH,EF=FH,
∵BE⊥DE,
∴∠ABE+∠BFE=∠ADG+∠AFD=90°,
∴∠ADG=∠ABE,
∵AE⊥AG,
∴∠BAE+∠BAG=∠DAG+∠BAG=90°,
∴∠BAE=∠DAG,
在△ABE和△ADG中,
,
∴△ABE≌△ADG(ASA),
∴AE=AG,
∵AE⊥AG,
∴△AEG是等腰直角三角形,
∴AH=GH,
∴GH=BE,
由图可知,FG-FH=GH,
∴FG-EF=BE.
∵G为DF的中点,
∴AG=DG=
1 |
2 |
∴∠DAG=∠ADG,
由三角形的外角性质,∠AGE=∠DAG+∠ADG=2∠DAG,
∵∠AED=2∠DAG,
∴∠AED=∠AGE,
∴AG=AE,
∵AE=2,
∴DF=2AG=2×2=4;
(2)证明:如图,过点A作AH⊥DF于H,
∵点F为AB的中点,
∴AF=BF,
在△AFH和△BFE中,
|
∴△AFH≌△BFE(AAS),
∴BE=AH,EF=FH,
∵BE⊥DE,
∴∠ABE+∠BFE=∠ADG+∠AFD=90°,
∴∠ADG=∠ABE,
∵AE⊥AG,
∴∠BAE+∠BAG=∠DAG+∠BAG=90°,
∴∠BAE=∠DAG,
在△ABE和△ADG中,
|
∴△ABE≌△ADG(ASA),
∴AE=AG,
∵AE⊥AG,
∴△AEG是等腰直角三角形,
∴AH=GH,
∴GH=BE,
由图可知,FG-FH=GH,
∴FG-EF=BE.
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