Question

如图1，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A开始以1cm/s的速度沿AB边向点B运动，点Q从点B以2cm/s的

如图1，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A开始以1cm/s的速度沿AB边向点B运动，点Q从点B以2cm/s的速度沿BC边向点C运动，如果P、Q同时出发，设运动时间为ts，（1）当t=2时，求△PBQ的面积；（2）当t= 时，试说明△DPQ是直角三角形；（3）当运动3s时，P点停止运动，Q点以原速立即向B点返回，在返回的过程中，DP是否能平分∠ADQ？若能，求出点Q运动的时间；若不能，请说明理由．

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Answer 1

（1）8  （2）见解析  （3）5.625s

试题分析：（1）当t=2时，AP=t=2，BQ=2t=4， ∴BP=AB﹣AP=4， ∴△PBQ的面积= ×4×4=8； （2）当t= 时，AP=1.5，PB=4.5，BQ=3，CQ=9， ∴DP 2 =AD 2 +AP 2 =2.25+144=146.25，PQ 2 =PB 2 +BQ 2 =29.25，DQ 2 =CD 2 +CQ 2 =117， ∵PQ 2 +DQ 2 =DP 2 ， ∴∠DQP=90°， ∴△DPQ是直角三角形． （3）设存在点Q在BC上，延长DQ与AB延长线交于点O． 设QB的长度为x，则QC的长度为（12﹣x）， ∵DC∥BO， ∴∠C=∠QBO，∠CDP=∠O， ∴△CDQ∽△BOQ，又CD=6，QB=x，QC=12﹣x， ∴ = ，即 = ， 解得：BO= ， ∴AO=AB+BO=6+ = ， ∴DO= ，PO= ， ∵∠ADP=∠ODP， ∴12：DO=AP：PO， 代入解得x=0.75， ∴DP能平分∠ADQ， ∵点Q的速度为2cm/s， ∴P停止后Q往B走的路程为（6﹣0.75）=5.25cm． ∴时间为2.625s，加上刚开始的3s，Q点的运动时间为5.625s． 点评：用到的知识点为：直角三角形的面积等于两直角边积的一半；若三角形的三边a，b，c符合a 2 +b 2 =c 2 ， 那么∠C=90°；相似三角形的对应边成比例；三角形的角平分线分对边的比等于另两边之比．