Question

已知△ABC，AB=AC=5，BC=8，若⊙O只与△ABC的两边相切，且切点均在边上，则⊙O的半径r的取值范围是______

已知△ABC，AB=AC=5，BC=8，若⊙O只与△ABC的两边相切，且切点均在边上，则⊙O的半径r的取值范围是______．

Answer 1

解：过A点作AD⊥BC于D，如图，
∵AB=AC=5，BC=8，
∴BD=DC=4，AD平分∠BAC，
∴AD=

AB2?BD2

=3；
若⊙O只与△ABC的AB、AC两边相切，则圆心O在AD上
当切点分别为点B和点C时，⊙O的半径r最大，
连OB、OC，如图，
∴OB⊥AB，
∴Rt△ABD∽Rt△AOB，
∴AB：AO=AD：AB，即5：（OD+3）=3：5，
∴OD=

16

3

，
在Rt△OBD中，
OB=

BD2+OD2

=

32+( 16 3 ) 2

=

20

3

，
而当圆心在O′时，与三边都相切，设与AB的切点为E，连O′E，如图，
则O′E⊥AB，O′E=O′D，
∴Rt△AEO′∽Rt△ADB，
∴O′E：BD=AO′：AB，即O′E：4=（3-O′E）：5，
∴O′E=

4

3

，
∴⊙O的半径r的取值范围是0＜r≤

20

3

，且r≠

4

3

；
若⊙O只与△ABC的BA、BC两边相切，
当A为切点时，⊙O的半径r最大，最大半径小于AD=3，
所以⊙O的半径r的取值范围是0＜r≤

20

3

，且r≠

4

3

．
故答案为0＜r≤

20

3

，且r≠

4

3

．