Question

（1）如图1，在△ABC中，点D、E、Q分别在AB、AC、BC上，且DE//BC，AQ交DE于点P,求证： （2）如图，△A

（1）如图1，在△ABC中，点D、E、Q分别在AB、AC、BC上，且DE//BC，AQ交DE于点P,求证： （2）如图，△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG,AF分别交DE于M,N两点.①如图2，若AB=AC=1，直接写出MN的长；②如图3，求证：MN =DM·EN





Answer 1

（1）证明见解析；（2）① ，②证明见解析.

试题分析：（1）易证明△ADP∽△ABQ，△ACQ∽△ADP，从而得出 .（2）①根据等腰直角三角形的性质和勾股定理，求出BC边上的高 ，根据△ADE∽△ABC，求出正方形DEFG的边长 。从而，由△AMN∽△AGF和△AMN的MN边上高 ，△AGF的GF边上高 ，GF= ，根据 MN：GF等于高之比即可求出MN. ②可得出△BGD∽△EFC，则DG?EF=CF?BG；又DG=GF=EF，得GF 2 =CF?BG，再根据（1） ，从而得出结论. 试题解析：（1）在△ABQ中，由于DP∥BQ，∴△ADP∽△ABQ.  ∴ . 同理在△ACQ中， . ∴ . （2）①  . ②∵∠B+∠C=90°，∠CEF+∠C=90，∴∠B=∠CEF. 又∵∠BGD=∠EFC，∴△BGD∽△EFC.∴ .∴DG·EF＝CF·BG. 又∵DG＝GF＝EF，∴GF 2 ＝CF·BG. 由（1）得  ，∴ . ∴MN 2 ＝DM·EN.