(2014?靖江市模拟)如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上的一点,直线MN经过点C,过点A作直线MN的垂线,垂足为

(2014?靖江市模拟)如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上的一点,直线MN经过点C,过点A作直线MN的垂线,垂足为点D,且∠BAC=∠DAC.(1)求证:MN是⊙O的切线... (2014?靖江市模拟)如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上的一点,直线MN经过点C,过点A作直线MN的垂线,垂足为点D,且∠BAC=∠DAC.(1)求证:MN是⊙O的切线;(2)若CD=6,cos∠ACD=35,求⊙O的半径. 展开
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uucurrryyg
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解:(1)直线MN与⊙0的位置关系是相切,
理由是:连接OC,
∵OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA,
∵∠CAB=∠DAC,
∴∠DAC=∠OCA,
∴OC∥AD,
∵AD⊥MN,
∴OC⊥MN,
∵OC为半径,
∴MN是⊙O切线;

(2)∵CD=6,cos∠ACD=
DC
AC
=
3
5

∴AC═10,由勾股定理得:AD=8,
∵AB是⊙O直径,AD⊥MN,
∴∠ACB=∠ADC=90°,
∵∠DAC=∠BAC,
∴△ADC∽△ACB,
AD
AC
=
AC
AB

8
10
=
10
AB

∴AB=12.5,
∴⊙O半径是
1
2
×12.5=6.25.
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