Question

设随机变量X，Y独立同分布且X分布函数为F（x），则Z=max{X，Y}分布函数为（　　）A．F2（x）B．F（x）F（

设随机变量X，Y独立同分布且X分布函数为F（x），则Z=max{X，Y}分布函数为（　　）A．F2（x）B．F（x）F（y）C．1-[1-F（x）]2D．[1-F（x）][1-F（y）]

Answer 1

FZ(z)=P{Z≤z}=P{max{x,y}≤z}
因为x,y中的最大值都小于z，所以x,y都小于z，因此
P{max{x,y}≤z}=P{X≤z,Y≤z}
因为x,y独立同分布，也就是说明他们的概率分布是一样的，因此
P{X≤z,Y≤z}=P{X≤z}P{Y≤z}
=F(z)F(z)=F²(z)
z只是个变量，可以替换成其他变量字母，如t或x，答案上是x，所以是F²(x)
(一般FX(x)=P{X≤x}，可以理解为F的下标的大写X对应P中大写X，F括号中的小写x对应P中小写x)

Answer 2

因为X，Y独立同分布且X分布函数为F（x），
故Z=max{X，Y}分布函数为：
F_Z（x）=P{Z≤x}=P{max{X，Y}≤x}=P{X≤x，Y≤x}=P{X≤x}P{Y≤x}
=F（x）F（x）=（F（x））²=F²（x），
故选：A．

Answer 3

简单计算一下即可，答案如图所示