Question

已知函数f（x）=x2+（k-2）x+2k-1．（1 ）若f（1）=16，函数g（x）是R上的奇函数，当x＞0时g（x）=f（x）

已知函数f（x）=x2+（k-2）x+2k-1．（1 ）若f（1）=16，函数g（x）是R上的奇函数，当x＞0时g（x）=f（x），（i）求实数k与g（0）的值；（ii）当x＜0时，求g（x）的解析式；（2）若方程f（x）=0的两根中，一根属于区间（0，1），另一根属于区间（1，2），求实数k的取值范围．

Answer 1

（1）．由f（1）=16得k=6，
∴f（x）=x²+4x+11，
（i）．由g（x）是R上的奇函数，
∴g（0）=0，（k=6），
（ii）．依题意知：当x＞0时，g（x）=x²+4x+11；
当x＜0时，则（-x）＞0，由
g（x）=-g（-x）=-[（-x）²+4（-x）+11]=-x²+4x-11．
∴x＜0时，g（x）=-x²+4x-11，
（2）依题意得：

f(0)＞0 f(1)＜0 f(2)＞2

，

2k?1＞0 1+(k?2)+2k?1＜0 4+2(k?2)+2k?1＞0

，
∴

k＞ 1 2 k＜ 2 3 k＞ 1 4

即

1

2

＜k＜

2

3

；
所以k的取值范围为（

1

2

，

2

3

），