Question

设函数f（x）=lnx+x2-ax（a∈R）．（Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）有两个极

设函数f（x）=lnx+x2-ax（a∈R）．（Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1∈（0，1]，求证：f（x1）-f（x2）≥-34+ln2；（Ⅲ）设g（x）=f（x）+2lnax+26x，对于任意a∈（2，4），总存在x∈[32，2]，使g（x）＞k（4-a2）成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）解：f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=

2x2?3x+1

x

，
令f′（x）＞0，可得0＜x＜

1

2

或x＞1，f′（x）＜0，可得

1

2

＜x＜1，
∴f（x）的递增区间为（0，

1

2

）和（1，+∞），递减区间为（

1

2

，1）；
（Ⅱ）证明：∵函数f（x）有两个极值点x₁，x₂，
∴f′（x）=

2x2?ax+1

x

=0，即2x²-ax+1=0有两个不相等的实数根，
∴x₁+x₂=

a

2

，x₁x₂=

1

2

∴2（x₁+x₂）=a，x₂=

1

2x1

，
∴f（x₁）-f（x₂）=lnx₁+x₁²-ax₁-（lnx₂+x₂²-ax₂）=2lnx₁-x₁²+

1

4x12

+ln2（0＜x≤1）．
设F（x）=2lnx-x²+

1

4x2

+ln2（0＜x≤1），则F′（x）=-

(2x2?1)2

2x2

＜0，
∴F（x）在（0，1）上单调递减，
∴F（x）≥F（1）=-

3

4

+ln2，即f（x₁）-f（x₂）≥-

3

4

+ln2；
（Ⅲ）解：g（x）=f（x）+2ln

ax+2

6 x

=2ln（ax+2）+x²-ax-2ln6，
∴g′（x）=

2ax(x+ 4?a2 2a )

ax+2

，
∵a∈（2，4），∴x+

4?a2

2a

＞0，
∴g′（x）＞0，
∴g（x）在x∈[

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