Question

已知函数f(x)=ax 3 +x 2 +bx(其中常数a，b∈R)，g(x)=f(x)+f′(x)是奇函数，(Ⅰ)求f(x)的表达式；(Ⅱ)讨

已知函数f(x)=ax 3 +x 2 +bx(其中常数a，b∈R)，g(x)=f(x)+f′(x)是奇函数，(Ⅰ)求f(x)的表达式；(Ⅱ)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间[1，2]上的最大值与最小值。

Answer 1

解：(Ⅰ)由题意，得f′(x)=3ax 2 +2x+b， 因此g(x)=f(x)+f′(x)=ax 3 +(3a+1)x 2 +(b+2)x+b， 因为函数g(x)是奇函数，所以g(-x)=-g(x)， 即对任意实数x，有a(-x) 3 +(3a+1)(-x) 2 +(b+2)(-x)+b=-[ax 3 +(3a+1)x 2 +(b+2)x+b]， 从而3a+1=0，b=0， 解得 ，b=0， 因此f(x)的解析表达式为 。 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 ， 所以g′(x)=-x 2 +2， 令g′(x)=0，解得 ， 则当 时，g′(x)＜0，从而g(x)在区间 上是减函数； 当 时，g′(x)＞0，从而g(x)在区间 上是增函数； 由前面讨论知，g(x)在区间[1，2]上的最大值与最小值只能在x=1， ，2时取得， 而 ， 因此g(x)在区间[1，2]上的最大值为 ，最小值为 。