Question

（2010?江西模拟）如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=a，AA1=2a，M、N分别是棱BB1，DD1的中点．①求异

（2010?江西模拟）如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=a，AA1=2a，M、N分别是棱BB1，DD1的中点．①求异面直线A1M与B1C所成的角的余弦值；②若正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积为V，三棱锥N-A1B1C1的体积为V1，求V1V的值．③求平面A1MC1与平面B1NC1所成的二面角的大小．

Answer 1

①∵A₁D∥B₁C
∴∠MA₁D是异面直线A₁M与B₁C所成的角（或补角）
MA1＝

2

a，A1D＝

5

a，MD＝

3

a
cos∠MA1D＝

A1M2+A1D2?MD2

2A1M?A1D

=

2a2+5a2?3a2

2× 2 a× 5 a

=

10

5

所以异面直线A₁M与B₁C所成的角余弦值为

10

5

②V=2a³，
VN?A1B1C1＝

1

3

a×

1

2

a2＝

1

6

a3，

V1

V

＝

1

12

③取AA₁中点P，连接B₁P、NP、MP，则四边形B₁MPA₁为正方形．
∵A₁M⊥B₁P，且B₁C₁⊥平面A₁B₁BA，
∴B₁C₁⊥A₁M，即A₁M⊥B₁C₁，
∴A₁M⊥平面B₁PNC₁
即A₁M⊥平面B₁NC₁，
∵A₁M?平面A₁MC₁，
所以，平面A₁MC₁⊥平面B₁NC．
故平面A₁MC₁与平面B₁NC₁所成二面角大小为90°．