Question

线性代数中为什么正定矩阵的主对角线上的元素都大于0

Answer 1

线性代数中，对于正定矩阵A，等价于矩阵A所有主子式>0 ，而主对角元就是所有的一阶主子式，故主对角线上的元素都大于0。

对于n阶实对称矩阵A，A是正定矩阵，等价于A的一切顺序主子式均为正，等价于A的一切主子式均为正，等价于A的特征值均为正，等价于存在实可逆矩阵C，使A=C′C，等价于存在秩为n的m×n实矩阵B，使A=B′B，等价于存在主对角线元素全为正的实三角矩阵R，使A=R′R。

正定矩阵有以下性质： 

1、正定矩阵的行列式恒为正；

2、实对称矩阵A正定当且仅当A与单位矩阵合同；

3、若A是正定矩阵，则A的逆矩阵也是正定矩阵；

4、两个正定矩阵的和是正定矩阵；

5、正实数与正定矩阵的乘积是正定矩阵。

扩展资料：

判别对称矩阵A的正定性有两种方法：

1、求出A的所有特征值。若A的特征值均为正数，则A是正定的；若A的特征值均为负数，则A为负定的。

2、计算A的各阶主子式。若A的各阶主子式均大于零，则A是正定的；若A的各阶主子式中，奇数阶主子式为负，偶数阶为正，则A为负定的。

参考资料来源：百度百科-正定矩阵

Answer 2

对于正定矩阵A，任取一个非零向量x，那么x^tAx>0,你不妨取x的第i个分量为非零其他都为0，代入就可以证明主对角线元素都大于0！

Answer 3

对于正定矩阵A，任取一个非零向量x，那么x^tAx>0,你不妨取x的第i个分量为非零其他都为0，代入就可以证明主对角线元素都大于0！

Answer 4

简单分析一下，答案如图所示

Answer 5

线性代数总归什么正定矩阵的主对角线上的元素都必须大于零，如果不大于零等四就不能成功