Question

(2013年潍坊市)如图,在梯形abcd中,ad平行bc,角abc=90度,以ab为直径做圆o,

与另一腰CD相切于点E,连接OD,OC,BE.
（1）求证：OD平行BE
（2）若梯形ABCD的面积是48，设OD=X,OC=y,且x+y=14,求CD的长

Answer 1

①证明：

连接OE。

∵CD是⊙O的切线

∴∠OED=90°

∵AD//BC，∠ABC=90°

∴∠OAD=90°=∠OED

又∵OA=OE，OD=OD

∴Rt△OAD≌Rt△OED（HL）

∴∠AOD=∠EOD=1/2∠AOE 

∵∠ABE=1/2∠AOE（同弧所对的圆心角等于2倍的圆周角）

∴∠AOD=∠ABE

∴OD//BE

②

∵△OAD≌△OED

∴S△OAD =S△OED

同理△OBE≌△OEC（略）

∴S△OBE=S△OEC

∴S△OED+S△OEC=S△OAD+S△OBC=1/2S梯形ABCD=24

即S△DOC=24

∵∠AOD=∠EOD，∠BOC=∠EOC

∴∠DOC=∠EOD+∠EOC=90°

∴OD×OC÷2=24

∵OD=x，OC=y

∴xy=48

∵x+y=14

∴x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=14^2-2×48=100

CD^2=x^2+y^2=100

CD=10