Question

高数微分方程怎么做，

Answer 1

y''+4y=0
特征方程根是λ=±2i
即齐次方程解为y=C1*cosx+C2*sinx
xsin^2x=x*(1-cos2x)/2=x/2-(1/2)xcos2x
非齐次函数部分分为x/2和(1/2)xcos2x
对于f(x)=x/2，最高次数为1
所以可设特解为yp=ax+b
代入y''+4y=x/2
就解得b=0，a=1/8，即yp=x/8了
对于f(x)=(1/2)xcos2x
所以特解yp=x^k*[(Ax+B)cos2x+(Cx+D)sin2x]
因为这里cos2x=Re{e^(2ix)}的λ为2i，为特征方程的单根，所以k取1
特解yp=x*[(Ax+B)cos2x+(Cx+D)sin2x]
代入y''+4y=(1/2)xcos2x
解得A=0，B=-1/32，C=-1/16，D=0
即yp=x/8-(1/32)xcos2x-(1/16)x^2sin2x

所以方程的通解为y=C1*cosx+C2*sinx+x/8-(1/32)xcos2x-(1/16)x^2sin2x

这里过程比较复杂，就不多说了，自己动手试试吧

追问

什么意思啊

追答

设法都给你说了，哪里不明白就明说吧

追问

非齐次

追答

Ay'' + By' + Cy = f(x)
若f(x) = 0
则Ay'' + By' + Cy = 0为齐次方程
若f(x) ≠ 0
则Ay'' + By' + Cy = f(x)为非齐次方程

追问

这个我知道

追答

所以呢？还有哪里不明白？

Answer 2

解：∵齐次方程y"+4y=0的特征方程是r^2+4=0，则r=±2i（复数根）
∴此齐次方程的通解是y=C1cos(2x)+C2sin(2x) (C1,C2是常数)
∵y=x/8-xcos(2x)/32-x^2sin(2x)/16是原方程的一个特解
∴原方程的通解是y=C1cos(2x)+C2sin(2x)+x/8-xcos(2x)/32-x^2sin(2x)/16。

追问

什么意思

追答

此题主要解法是：对应齐次方程的通解+原方程的一个特解=原方程的通解。难道到你一点都不懂吗？

追问

我不懂用了什么方法

追答

主要是要会求解齐次常微分方程y"+4y=0通解，这个很简单，但必须牢记。你多看看教材的这篇文章。

追问

第二个因为怎么出来的

酒一个答案啊

在吗

我想知道过程……

追答

第二个特解要根据特征根r=±2i与x(sinx)^2来设置和求解：

∵x(sinx)^2=x(1-cos(2x))/2 (应用倍角公式)
∴可以设原方程的解为y=Ax+B+(Cx^2+Dx)cos(2x)+(Ex^2+Fx)sin(2x)
把它代入原方程，可求得
A=1/8，B=0，C=0，D=-1/32，E=-1/16，F=0
故y=x/8-xcos(2x)/32-x^2sin(2x)/16是原方程的一个特解。

追问

这么设方程什么原理

追答

设方程什么原理这个问题在这上面一两句说不清楚，它主要是关系到复变函数理论。你最好查看教材，还要自己多做练习，才能熟能生巧。

Answer 3

翻开你的学习辅导书，参照公式，一步一步的慢慢的看看条件成立的前提。做作业套公式即可