Question

求助 高中数列问题

已知数列{An}为等差数列,公差d≠0，由{An}中的部分项组成的数列Ab1,Ab2,...Abn...为等比数列，其中b1=1，b2=5，b3=17
求数列的通项公式
注:b1,b2,bn...为A的下标
给具体步骤
2)记Tn=C(1,n)b1+C(2,n)b2+C(3,n)+....+C(n,n)bn,求Tn/(4^n+bn)的极限

Answer 1

1. a5*a5=a1*a17,
(a1+4d)*(a1+4d)=a1*(a1+16d),
a1=2d,

所以An=2d+(n-1)d=（n+1）d

2. a1=2d，a5=6d,a17=18d，
所以等比数列Abn的通项公式为Abn=2d*3^(n-1)
令bn=ai，即2d*3^(n-1)=(i+1)d,
i=2*3^(n-1)-1,
bn=2d*3^(n-1)

Tn=C(1,n)b1+C(2,n)b2+C(3,n)+....+C(n,n)bn
=[（2d/3）*∑C(j，n)*3^n*1^(n-j)]-2d/3 k=0,1,2,……,n
由二项式定理得
Tn=(2/3d)(3+1)^n-2d/3
=(2d/3)*(4^n-1)

(4^n+bn)/Tn=[4^n+2d*3^(n-1)]/(2d/3)*(4^n-1)
求极限 得到lim(4^n+bn)/Tn=lim[2d/3+(3/4)^n]=2d/3

所以 limTn/(4^n+bn)=3/2d

Answer 2

A1 A17=A5 A5
A1 （A1+16d)=(A1+4d) (A1+4d)
A1 A! +A1 16d=A1 A!+8dA1+16dd
8dA1=16dd
A1=2d
所以 An=（n+1）d