Question

求助一到高中数列题

第二问做不来，求大神帮助

Answer 1

注意点击右下角的“展开”

an=2n-1
kn=[3^(n-1)+1]/2
2kn=3^(n-1)+1
2kn-2=3^(n-1)-1
an/(2kn-2)=(2n-1)/[3^(n-1)-1]
n≥3
an/(2kn-2)-(2n)/3^(n-1)=(2n-1)/[3^(n-1)-1]-(2n)/3^(n-1)
=[(2n)*3^(n-1)-3^(n-1)-(2n)*3^(n-1)+2n]/[3^(n-1)*3^n]
=[2n-3^(n-1)]/[3^(n-1)*3^n]
直线y=2n与y=3^(n-1)有两个交点，
f(n)=2n-3^(n-1)
f(0)<0
f(1)>0
f(2)>0
f(3)<0
一根在(0,1)之间，一根在（2，3）之间，
所以当n≥3时，f(n)<0
即，
an/(2kn-2)<(2n)/3^(n-1)
左<(4/3)+(6/3^2)+(8/3^3)+.......+(2n)/3^(n-1)=Tn
Tn=(4/3)+(6/3^2)+(8/3^3)+.......+(2n)/3^(n-1) 两边同乘以(1/3)得：
(1/3)Tn= (4/3^2)+(6/3^3)+.....+(2n-2)/3^(n-1)+(2n)/3^n 上式减下式得；
(2/3)Tn=(4/3)+2[(1/3)^2+(1/3)^3+............+(1/3)^(n-1)]-(2n)/3^n
=(4/3)+2[(1/3)^2/(1-1/3)][1-(1/3)^(n-2)]-(2n)/3^n
=(4/3)+(1/3)[1-(1/3)^(n-2)]-(2n)/3^n<(4/3)+(1/3)=5/3
2Tn<5
Tn<5/2<8/3

Answer 2

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an=2n-1
kn=[3^(n-1)+1]/2
2kn=3^(n-1)+1
2kn-2=3^(n-1)-1
an/(2kn-2)=(2n-1)/[3^(n-1)-1]
n≥3
an/(2kn-2)-(2n)/3^(n-1)=(2n-1)/[3^(n-1)-1]-(2n)/3^(n-1)
=[(2n)*3^(n-1)-3^(n-1)-(2n)*3^(n-1)+2n]/[3^(n-1)*3^n]
=[2n-3^(n-1)]/[3^(n-1)*3^n]
直线y=2n与y=3^(n-1)有两个交点，
f(n)=2n-3^(n-1)
f(0)<0
f(1)>0
f(2)>0
f(3)<0
一根在(0,1)之间，一根在（2，3）之间，
所以当n≥3时，f(n)<0
即，
an/(2kn-2)<(2n)/3^(n-1)
左<(4/3)+(6/3^2)+(8/3^3)+.......+(2n)/3^(n-1)=Tn
Tn=(4/3)+(6/3^2)+(8/3^3)+.......+(2n)/3^(n-1) 两边同乘以(1/3)得：
(1/3)Tn= (4/3^2)+(6/3^3)+.....+(2n-2)/3^(n-1)+(2n)/3^n 上式减下式得；
(2/3)Tn=(4/3)+2[(1/3)^2+(1/3)^3+............+(1/3)^(n-1)]-(2n)/3^n
=(4/3)+2[(1/3)^2/(1-1/3)][1-(1/3)^(n-2)]-(2n)/3^n
=(4/3)+(1/3)[1-(1/3)^(n-2)]-(2n)/3^n<(4/3)+(1/3)=5/3
2Tn<5
Tn<5/2<8/3