Question

双曲线问题

设M（a,b）为二次曲线F（X,Y）=0的内部一定点过M的直线与二次曲线交于A、B，使得M为AB中点。求证：直线AB方程为F（2a-x,2b-x）-F(x,y)=0
曲线f(x，y)＝0关于点p(a，b)的对称曲线方程为f(2a－x，2b－y)＝0?是这样么？？
为什么两个方程相减即为直线 AB 的方程 呢？不懂、

Answer 1

（1）因点M(a,b)是点A和点B的中点，故由“中点坐标公式”可知，若设点A(x,y)，则点B(2a-x,2b-y).由点A和B均在曲线F(x,y)=0上，故其坐标方程，即有F(x,y)=0,且F(2a-x,2b-y)=0.这里，点A（x,y)是直线AB上的任一点，即是说，直线AB上的任一点的坐标均满足F(x,y)=0,F(2a-x,2b-y)=0.(2)为何两方程F(x,y)=0,F(2a-x,2b-y)=0相减才是直线AB的方程呢？二次曲线的一般形式为F(x,y)=Ax²+By²+Cx+Dy+E=0,(A,B不同时为0）。故F(2a-x,2b-y)=A(2a-x)²+B(2b-y)²+C(2a-x)+D(2b-y)+E=0.因直线方程为一次方程：Mx+Ny+T=0.故只有两方程F(x,y)=0,F(2a-x,2b-y)=0相减，才能消去二次项，得到一次方程。故直线AB的方程为F(2a-x,2b-y)-F(x,y)=0.

Answer 2

题目好像错了吧？待证方程应该是 F(2a-x, 2b-y) - F(x, y) = 0

首先应该明确：
曲线f(x，y)＝0关于点p(a，b)的对称曲线方程为f(2a－x，2b－y)＝0

因为 点M 是 A，B 的中点，所以可知 A , B 即为方程 F(2a-x, 2b-y) = 0 和方程 F(x, y) = 0的两个交点那么两个方程相减即为直线 AB 的方程