Question

若关于x的不等式（2x-1)²＜ax²的解集中的整数有3个，则实数a的取值范围为？

希有解不等式的过程

Answer 1

不等式转换一下就变成了(1/x-2)^2<a
考虑x的整数解，从1开始增加的时候(1/x-2)^2的值是递增的，从-1开始减少的时候(1/x-2)^2的值是递减的，所以要通过参数a把x的整数解限定到三个只需考虑(1/x-2)^2当x能取到三个整数的最小值和能取到四个整数的最小值
而x->-无穷的时候(1/x-2)^2趋近于4，故x取负数(1/x-2)^2最小也大于4
当x取正整数的时候(1/x-2)^2一定小于4，故x一定为正整数
而x为正整数(1/x-2)^2递增，所以x的正整数取值应该为1，2，3
故参数a应该使x能取到3而取不到4
即 （1/3-2）^2<a<=(1/4-2)^2 左边是保证能取到3右边保证取不到4
解出答案（25／9，49／16]

Answer 2

解：原式=（2x-1)²-ax²=（4-a)x²-4x+1,因为有解，所以判别式大于0,a大于0,
再变形得(1/x-2)^2<a
则 该式在正负数范围内是递增的。
（1）x为负数时，越趋近于负无穷，a越接近4，但总比四大，所以与已知不符；
（2）x为零时，不等式不成立；
（3)x正数时，越趋近于正无穷，a越接近4，但总比4小，所以，x应取得的正整数是1，2,3，
为保证已知成立
所以，a的取值应大于3，小于4。
即 （1/3-2）^2<a<=(1/4-2)^2，
解得： a小于或等于49／16，大于25／9，
即，a的取值范围为（25／9，49／16].

Answer 3

设为两个函数图像，判断图像开口向上，整数有三个，分别为1，2，3.所以两个函数的交点在（3，4）之间，列不等式就解出答案（25／9，49／16]