Question

证明一个数学不等式

已知X,Y>1.
若X+1/X<Y+1/Y
求证X<Y

Answer 1

因为 x,y>1，所以 xy>1，1/(xy)<1，因此
(x+1/x)-(y+1/y)
=(x-y)+(1/x-1/y)
=(x-y)-(x-y)/(xy)
=(x-y)(1-1/(xy)) (1-1/(xy)>0)
<0
从而必有 x-y<0，即 x<y.

Answer 2

左右相减，得（x-y)(1-1/xy)

xy>1
1/xy<1

x<y

Answer 3

X+1/X-Y-1/Y<0
(X-Y)+(1/X-1/Y)<0
(X-Y)+(X-Y)/x*y <0
(x-y)(1+1/x*y)<0
因为X,Y>1
所以1+1/x*y)>0
所以x-y<0
x<y

Answer 4

由题X+1/X<Y+1/Y，移项得X+1/X-Y-1/Y<0,合并得(X-Y)(1-1/XY)<0
因为X,Y>1,所以XY>1,1/XY<1,1-1/XY>0,由上式，所以X-Y<0,即X<Y

Answer 5

不等式X+1/X<Y+1/Y等同于
1+1/x<1+1/y两边同减1得
1/x<1/y
因为x，y>1
所以x<y