Question

f(x)=sinx-cosx-ax当a=2/π,x∈(0,π),证明f(x)≥-1恒成立

f(x)=sinx-cosx-ax当a=2/π,x∈(0,π),证明f(x)≥-1恒成立

Answer 1

证：
f'(x)=cosx+sinx- 2/π
=√2sin(x+π/4)- 2/π
令f'(x)≥0
√2sin(x+π/4)≥2/π
sin(x+π/4)≥√2/π
x∈(0，π)
函数f(x)的单调递增区间为(0，3π/4 -arcsin(√2/π)]
函数f(x)的单调递减区间为[3π/4 -arcsin(√2/π)，π)
只需考察两边界
f(0)=sin0-cos0-(2/π)·0=0-1-0=-1
f(π)=sinπ-cosπ-(2/π)·π=0-(-1)-2=-1
f(x)≥-1，对于任意x∈(0,π)，f(x)≥-1恒成立。