Question

R上奇函数f(x)满足f(x一4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,

若方程f(x)=m(m>0)在区间[一8,8]上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,求x1+x2+x3+x4四数之和.1、答案说：因为定义在R上的奇函数，所以函数图象关于直线x=2对称且ƒ(0)=0，请问是为什么呢？2、答案说：由ƒ(x－4)=ƒ(x)知ƒ(x－8)=ƒ(x)，所以函数是以8为周期的周期函数。为什么4不是周期呢？3、答案图如下，为什么一开始是从下往上的呢？可以从上往下吗？有什么规律吗？

Answer 1

(1)f(x)=-f(x-4),为奇函数
∴f(x+2)=-f(x+2-4)=-f(x-2)=f(2-x)
∴图像关于x=2对称，由于奇函数f(-x)=-f(x),将x=0代入，只要x=0在函数定义域内，必有
f(0)=-f(0)→f(0)=0
(2)f(x-4)=-f(x)→f(x)=-f(x-4)
令 x=x+4,代入：
f(x)=-f(x+4)
∴f(x+4)=f(x-4)
再令 x=x+4，再次代入：
f(x+8) = f(x)
∴函数是以8为最小正周期的周期函数
(3)题中已经告知，x∈[0,2]是增函数，根据奇函数和周期函数的特点可以画出示意图（仅为示意图，就已知条件，无法得出f(x)是分段一次函数的，比如f(x)=sin(πx/4）也是符合要求的）