Question

已知函数f(x)=kx³-3(k+1)x²-2k²+4

已知函数f(x)=kx³-3(k+1)x²-2k²+4，若f(x)的单调减区间为(0,4)。
1） 求k的值。
2） 对任意的t∈[-1,1]，关于x的方程2x²+5x+a=f(t)总有实根，求实数a的取值范围。

写明过程，麻烦啦。

Answer 1

求导得
f'(x)=3kx^2-6(k+1)x
=3x(kx-2k-2)
（1）由单调减区间为(0，4)可知f'(x)≤0的解为0≤x≤4，
则2k+2=4k，
解得k=1；
（2）由上述可知，f(t)在t∈[-1，1]的最大值为f(0)=2，最小值为f(-1)或f(1)
可得f(-1)=-1-6-2+4=-5
f(1)=1-6-2+4=-3
所以f(t)在[-1，1]上的值域为[-5，2]
此时，对原方程，2x^2+5x+a-f(t)=0
△=25-8[a-f(t)]=25+8f(t)-8a
可知-40≤8f(t)≤16
要使△≥0恒成立，则取8f(t)=-40
此时△=-15-8a≥0
解得a≤-15/8

Answer 2

1.∵函数f(x)=kx³-3(k+1)x²-2k²+4
令F’(x)=3kx^2-6(k+1)x=0，解得x1=0,x2=2+2/k
F”(x)=6kx-6(k+1)
当k>0时，F”(0)=-6(k+1)<0, 函数f(x)在x1处取极大值；F”(2+2/k)=6k+6>0, 函数f(x)在x2处取极小值；
当k＝0时函数f(x)=-3x²+4，为抛物线，函数f(x)在x1处取极大值；
当-1<k<0时，F”(0)=-6(k+1)<0, 函数f(x)在x1处取极大值；F”(2+2/k)=6k+6>0, 函数f(x)在x2处取极小值；
当k=-1时，F”(0)=-6(k+1)=0,x1,x2重合 函数f(x)在x1处为平台；
当k<-1时，F”(0)=-6(k+1)>0, 函数f(x)在x1处取极小值；F”(2+2/k)=6k+6〈0, 函数f(x)在x2处取极大值；
∵f(x)的单调减区间为(0,4)
当k>0时，只要2+2/k>=4==>0<k<=1
当k＝0时,满足要求；
当-1<k<0时，x1>x2,则，也满足要求；
当k=-1时，函数f(x)在x1处为平台，在定义域内单调减，也满足要求；
当k<-1时，x2>x1不满足要求；
综上：当k∈[-1,1]时，满足f(x)的单调减区间为(0,4)

2. ∵t∈[-1,1],方程2x²+5x+a=f(t)总有实根
⊿＝25-8(a-f(t))>=0==>a-f(t)<=25/8==>a<=25/8+f(t)
F(t)的值与k值有关，k不确定，F(t)也无法确定。只能做到这儿。