Question

求u=根号x^2+y^2+z^2的所有二阶偏导数

Answer 1

解题过程如下：

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求偏导数的方法：

设有二元函数 z=f(x,y) ，点(x0,y0)是其定义域D 内一点。把 y 固定在 y0而让 x 在 x0 有增量 △x ，相应地函数 z=f(x,y) 有增量（称为对 x 的偏增量）△z=f(x0+△x,y0)-f(x0,y0)。

如果 △z 与 △x 之比当 △x→0 时的极限存在，那么此极限值称为函数 z=f(x,y) 在 (x0,y0)处对 x 的偏导数。

记作 f'x(x0,y0)或函数 z=f(x,y) 在(x0,y0)处对 x 的偏导数，实际上就是把 y 固定在 y0看成常数后，一元函数z=f(x,y0)在 x0处的导数。

同样，把 x 固定在 x0，让 y 有增量 △y ，如果极限存在那么此极限称为函数 z=(x,y) 在 (x0,y0)处对 y 的偏导数。记作f'y(x0,y0)。

Answer 2

u=√(x^2+y^2+z^2)
au/ax=1/[2√(x^2+y^2+z^2)]×2x
=x/√(x^2+y^2+z^2)
a^2u/ax^2=[√(x^2+y^2+z^2)-x^2/√(x^2+y^2+z^2)]/(x^2+y^2+z^2)
=1/√(x^2+y^2+z^2)-x^2/(x^2+y^2+z^2)^(3/2)
由于x、y、z对称
所以a^2u/ay^2=1/√(x^2+y^2+z^2)-y^2/(x^2+y^2+z^2)^(3/2)
au/az=1/√(x^2+y^2+z^2)-z^2/(x^2+y^2+z^2)^(3/2)
注：^——表示次方