Question

如图 在△ABC与△ADE中,∠ACB=∠AED=90,且AC=AB,AE=DE

如图 在△ABC与△ADE中,∠ACB=∠AED=90,且AC=AB,AE=DE，连接BD，CE，点M，N分别为BD，CE的中点，求证：MN=1/2CE（或MN⊥CE）

Answer 1

证明：分别过点C ,E作CG垂直AB于G EH垂直AD于H，连接MG ,MH
所以CG ,EH分别是三角形ABC和三角形ADE的垂线
因为角ACB=90度
AC=BC
所以三角形ABC是等于直角三角形
所以CG是等腰直角三角形ABC的垂线，中线
所以角CGA=角CGM+角AGM=90度
CG=AG=1/2AB
所以G是AB的中点
因为M是BD的中点
所以MG是三角形ABD的中位线
所以MG=1/2AD
MG平行AD
因为角AED=90度
AE=DE
所以三角形ADE是等腰直角三角形
所以EH是等腰直角三角形ADE的垂线，中线
所以角EHA=角EHM+角AHM=89度
EH=AH=1/2AD
所以H是AD的中点
所以MH是三角形ABD的中位线
所以MH=1/2AB
MH平行AB
所以角GMH+角AGM=180度
四边形AGMH是平行四边形
所以AG=MH
AH=MG
角AGM=角AHM
所以CG=MH
MG=EH
角CGM=角EHM
所以三角形CGM全等三角形MHE (SAS)
所以角GCM=角HME
CM=EM
所以三角形CME是等腰三角形
因为角CGA=角CGM+角AGM=90度（已证）
所以角AGM=90-角CGM
所以90-角CGM+角GMH=180度
所以角GMH=90+角CGM
因为角CGM+角CMG+角GCM=180度
所以角CGM+角HME+角CMG=180度
因为角CMG+角GMH+角HME+角CME=360度
所以角CME=90度
所以三角形CME是等腰直角三角形
因为N是CE的中点
所以MN是等腰直角三角形CME的中线，垂线
所以MN=1/2CE
MN垂直CE