Question

已知函数f(x)对一切x，y属于R，都有f(x+y)=f(x)+f(y).(1)求证：f(x)是奇函数。（2）若f(-3)=a,用a表示f(12

Answer 1

1、
令y=0 有f(x)=f(x)+f(0) ①
令y=-x 有f(0)=f(x)+(-x) ②
①②联立
f(x)-f(x)=f(x)+f(-x)
-f(x)=f(-x)
∴f(x)是奇函数

2、
由1知f(x)为奇函数
f(-x)=-f(x) 则
f(-3)=-f(3)=a
-f(3)=a
两边乘以-1
f(3)=-a
f(12)=f(3+3+3+3)=f(3)+f(3)+f(3)+f(3)=-a-a-a-a=-4a

所以f(12)=-4a

Answer 2

解：f(x+y)=f(x）+f(y)

令：x=y=0

f(0)=f(0)+f(0)

f(0)=0

令x+y=0 => y=-x

f(0)=f(x)+f(y)

0=f(x)+f(-x)

f(-x)=-f(x)

为奇函数

当x=y=-3时

f(-6)=f(-3)+f(-3)=a+a=2a

当x=y=-6时

f(-12)=f(-6)+f(-6)=2a+2a=4a

当x=y=0时

f(0)=f(12)+f(-12)=0

则4a+f(-12)=0

则f(12)=-4a

Answer 3

1、
令x=y=0
则f(0)=f(0)+f(0)
f(0)=0

令y=-x
x+y=0
所以f(0)=0=f(x)+f(-x)
f(-x)=-f(x)
所以是奇函数

2、
f3)=-f(-3)=-a
f(6)=f(3+3)=f(3)+f(3)=-2a
f(12)=f(6+6)=f(6)+f(6)=-4a

Answer 4

我只证明第一个，证明是对于任何值都得成立，所以取特殊值没有意义

令，Z=X+Y,则F(Z)=F(Z-Y)+F(Z-X)=F(Z)+F(-Y)+F(Z)+F(-X)
=2F(Z)+F(-Y)+F(-X)
=2F(Z)+F(-Y-X)
=2F(Z)+F(-Z)
移向得F(-Z)=-F(Z),所以为奇函数

Answer 5

解：令x=0,y=0,则f(0)= f(0)+ f(0), f(0)= 0.因为在定义域R，所以函数关于原点对称f(0)= 0 ,f(x)是奇函数.

f(-6)=f(-3)+f(-3), f(-6)=2a.
f(-12)=f(-6)+f(-6)=4a, 根据函数为奇函数
f(-12)=-f(12)=4a, f(12)=-4a